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若整数x,y满足

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中位线定理

【2020-5-30-1】

设在凸四边形中,经过一组对边中点的直线与两条对角线所成的角相等。求证:这两条对角线相等(第24届全俄数学奥林匹克提)

【2020-50-30-2】

给定凸四边形ABCD与形内一点O,且∠AOB=∠COD=120°,且AO=OB,CO=OD。设K、L、M分别为线段AB、BC、CD的中点。求证(1)KL=LM;(2)△KLM为等边三角形。(第58届莫斯科数学奥林匹克题)

【2020-5-30-2】

某数学活动小组在做三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:(1)如图1所示在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB,AC为斜边,向△ABC外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,求证①AF=AG=½AB;②MD=ME。(2)在任意△ABC中,仍分别以AB,AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME。试判断△MDE的形状(直接写答案,不需要写证明过程)。(3)在任意△ABC中,分别以AB,AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC 的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?

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分式方程

【2320】

某游泳爱好者在河中逆流而上,在桥A下面,水壶遗失被水冲走,继续前游20 min后他发现水壶遗失,于是立即返回追寻水壶,在桥A下游距A2km的桥B下面追到了水壶,求这条河的水流的速度.

方法一

方法二

【2282】

草原上的一片青草,到处长的一-样密-样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完,问几头牛在96天内可以吃完?

【2309】

已知不论x取何数值,分式(ax+3)/(bx+5)的值都为同一个定值,那么(a+b)/b的值为_____

甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天,再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?

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因式分解

【1964】

已知a1, a2, a3, a4, a5是满足条件a1 +a2+ a3+a4+a5=9的五个不同的整数,若b是关于x的方程(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-a5)=2009的整数根,求b的值. (2009年全国初中数学竞赛题)

1964-1

1964-2

(a +b- 2ab)(a +b- 2) +(1- ab)^2

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平行四边形

如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE, 垂足为G,AF=5, BG=4根号2,则△CEF的周长为_____

己知:如图,在等边△ABC中,D、F分别为CB、BA上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE.
求证: (1)△ACD≌△CBF;(2)四边形CDEF为平行四边形.

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平移与旋转

【1】

如图,在△ABC中,∠ACB=120°, AC=BC=2, D是AB边上的动点,连接CD,将△BCD 绕点C沿顺时针旋转至△ACD’,连接DD’,则△ADD’ 面积的最大值为

【2】

如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将ODEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q. (1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=4Q时,求证:△BPE≌OCQE;(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,△BPE与△CEQ还全等吗?

【190414-24-3】

如图,P为等边△ABC内一点,且PB=2, PC=3,∠BPC=150°, M, N,则为边AB, AC. 上的动点,且AM=AN,请直接写出PM+PN的最小值。

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多边形的内角和与外角和

三角形的外角等于不相邻的两个内角和

【2020-4-10-1 】

三角形的外角等于不相邻的两个内角和平面内,四条线段AB、BC、 CD、DA首尾顺次相接,∠ABC =x°,∠ADC= y°
点E在BA的延长线上,∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N 如图,则∠ANC=_____

【2020-4-10-2 】

如图1, A, B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动,点B一每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.(1)若|x+2y-5|+(2x-y)^2=0,求1秒后A,B两点的坐标 (2)如图2,AP, BP分别是∠BAC和∠DBA的平分线,试问:点A, B在运动过程中,∠P 的度数是否发生变化?若不变,求其度数;若改变,说明理由

(3)如图3,延长BA至点E,在∠AOB的内部做射线BF交x轴于点C,若∠EAC,∠FCA,∠ABC的平分线交于点G,过点G作GH⊥BE于点H,试问∠AGH, ∠BGC有什么关系?

【2020-4-11】

如图,在平面直角坐标系中, OAOB角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与y轴交于点C
(1)若∠A=∠AOC,求证:∠B=∠BOC; (2)延长AB交x轴于点E,过0作0D⊥AB,且∠DOB=∠EOB,∠OAE=∠OEA,求∠A度数;

(3)如图, OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点P,当△ABO绕0点旋转时(斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C),在(2)的条件下,试问∠P的度数是否发生改变?若不变,请求其度数;若改变,请说明理由

【2020-4-11-2 】

如图,直线AB分别交x轴、y轴交于A、B两点,将△AOB绕原点o逆时针旋转至△COD(点C在y轴正半轴). (1)如果0B=3,OA=4, 请直接写出点A、B、C、D的坐标; (2) ∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F,求∠F的度数;

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多边形的内角和与外角和

三角形的外角等于不相邻的两个内角和

【2020-4-7-1 】

如图,四边形ABCD中,ADIIBC, DE平分∠ADB,∠BDC=∠BCD (1) 求证:∠1+∠2=90°;

【2020-4-7-2 】

若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F,且∠F=55°,求∠ABC;

【2020-4-7-3 】

若H是BC上一动点,F是BA延长线上一点,FH交BD于M, FG平分∠BFH,交DE于N,交BC于G.当H在BC上运动时(不与B点重合),(∠BAD+∠DMH)/∠DNG的值是否变化,如果变化,说明理由;如果不变,试求出其值

【2020-4-7-4 】

平面内,四条线段AB、BC、 CD、DA首尾顺次相接,∠ABC =x°,∠ADC= y° (1)∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M (如图1),求∠AMC的大小;

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a^3+b^3+c^3-3abc分解因式

证明:(b+c-2a)^3 +(c+a-2b)^3+(a+b-2c)^3x=3(b+c-2a)(c+a-2b)(a +b-2c).

【2273】

设y=kx,是否存在实数k,使得代数式(x^2-y^2)(4x^2-y^2)+3x^2(4x^2-y^2 )能化简为x^4?若能,请求出所有满足条件的k值;若不能,请说明理由.

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由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形

由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”。若这四个全等的直角三角形有一个角为30°,顶点B1,B2,B3,…Bn,和C1,C2,C3,… Cn分别在直线y=1/2x+gen3和x轴上,则第一个阴影正方形的面积为▲,第n个阴影正方形的面积为▲