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21年3月20号4年级

斐波那契数列,因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。
一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:
第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是1对;两个月后,生下一对小兔对数共有2对三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是3对
由下图可以看到,兔子的个数形成数列:1,1,2,3,5,8,….从第3项开始,每一项都是前两项的和。

一、斐波那契数列及其应用
例 1:填空: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,( ),987,( )。
练习 1:(1)2,2,4,6,10,16,( ),( )

(2)34,21,13,8,5,( ),2,( )

例 2:有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34……。这是有趣的“兔子”数列,请问:在前 120 个数中有几 个偶数? 几个奇数? 第 2004 个数是奇数还是偶数?
练习 2:有一列数按 1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列,第 500 个数是奇数还是偶数?

例 3:一个楼梯共有 10 级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。从地面到最上面一级台阶, 一共可以有多少种不同的走法?

练习 3:一个楼梯共有 10 级台阶,规定每步可以迈一级或二级台阶,最多三级台阶,从地面上到 最上面一级台阶,一共可以有多少种不同的迈法?

例 4:有一堆火柴共 12 根,如果规定每次取 1~2 根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?

练习 4:一只青蛙从宽 5 米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳 0.5 米或 1 米,这只青蛙跳 过水田共有多少种不同的方法?

例 5:如下图,从 A 处穿过房间到达 B 处,如果要求只能从小号码房间走向大号码房间,那么共 有多少种不同的走法?

练习 5: 1. 牛牛玩一种游戏,从图中的 A 处走到 B 处,每次只能从一个格子走向右侧临近的格子而不准逆 行,比如从 4 只能到 5 和 6。一共有多少种不同的走法?

2. 有这样一组数:1,1,2,3,5……;现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形;再分 别从左到右取 2 个,3 个,4 个,5 个正方形拼成如下长方形记为①、②、③、④。则第⑨个长方 形周长是多少?

例 6:兔子数列(斐波那契数列)1,1,2,3,5,8,13,21……此数列的第 2019 项除以 3 的余数 是?第 2010 项除以 3 的余数是?

练习 6:著名的斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,…此数列的第 2008 项除以 4 的余数是 多少?第 2017 项的除以 4 的余数是多少?

二、最短路径(标数法)
例 7:如图是某城市局部街道示意图,某人想从街道口 A 沿街道口 B,要使走的路程最短,不同的 走法有多少种?

练习 7: 1. 如下图,从 A 点走到 B 点,最短路线共有多少条?

2. 如图中有 10 个编好号码的房间,你可以从小号码的房间走到相邻的大号码的房间,但是不能从 大号码的房间走到小号码的房间,从 1 号房间走到 10 号房间共有多少种不同的走法?

3. 在如图的街道示意图中,C 处因施工不能通行,从 A 到 B 的最短路线共有多少条?