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仿射变换第2讲

仿射变换的性质

仿射变换具有以下性质:

性质1 变换后共线三点单比不变(即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样);

性质2 变换后保持同素性和接合性

:即仿射变换前直线与曲线相切(相交、相离),仿射变换后直线与曲线依然相切(相交、相离】;变换前直线与直线平行(相交、重合),伸缩变换后直线与直线依然平行(相交、重合)。

性质3 变换前后对应图形的面积比不变;

以上是对性质2的一个简单证明,仿射变换前直线与椭圆相切,仿射变换后直线与曲线依然相切

下面来说一下仿射变换在高中解析几何中的应用

在高中解析几何的学习中,我们知道圆有很多很好的几何性质,比如圆中有垂径定理等,能够很方便的处理与弦长或者面积相关的问题。

不难发现,椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1在形式上接近圆的标准方程x2+y2=r2,所以我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆,再利用圆的好用的几何性质解决椭圆中的一些复杂问题.

对于椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1,在y轴上进行伸缩变换x=x′,y=a/b y′,从而得到圆的方程x′2+y′2=a2.

此时椭圆上的点P(x0,y0)经过变换变成点P′(x0,a/b y0),即所有点经过变换后横坐标不变,纵坐标变成原来的a/b倍。

原坐标系中一条斜率为k=Δy/Δx的直线,在新的坐标系中的斜率为k′=Δy′/Δx′=a/b⋅k.

除此之外,椭圆问题中经常涉及的弦长,面积等也有一定的变化关系,本文不再一一阐述,接下来将总结好的变化关系以图片的形式呈现。

以下一些高考试题为例加以说明。(附高考试题及解析PPT可下载)

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仿射变换第1讲

什么是仿射变换

仿射变换是一种二维坐标到二维坐标的线性变换,变换保持二维图形间的相对位置关系不发生变化。原来的直线仿射变换后还是直线,原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线,夹角可能会发现变化,垂直关系可能会发生变化。

平面坐标中的任意一点(x,y)的一个仿射变换:

这是仿射变换的一般表达式

仿射变换变化包括缩放平移旋转反射错切

下面给出一些常用的仿射变换的例子。

1.若a=1,e=1并且b=0,d=0,则仿射变换的表达式

这个就是平移变换

mde

2.若b=0,d=0并且c=0,f=0,则仿射变换的表达式:

这个就是缩放变换

3.若a=cosθ,e=cosθ,b=-sinθ,d=sinθ并且c=0,f=0,则仿射变换的表达式:

这个就是旋转变换

全等和相似也可以看作是特殊的仿射变换。

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极坐标方程的定义

A polar coordinate system, gives the co-ordinates of a point with reference to a point 0 and a half line or ray starting at the point O. We will look at polar coordinates for points in the xy-plane, using the origin (0, 0) and the positive x-axis for reference. A point P in the plane, has polar coordinates (r, 6), where r is the distance of the point from the origin and θ is the angle that the ray |OP| makes with the positive x-axis.

极坐标1.pptx

极坐标下方程的图像
The graph of an equation in polar coordinates r= f(θ) or F(r,θ)= 0 consists of all points P that have at least one polar representation (r, 0) whose coordinates satisfy the equation.

极坐标2.pptx

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曲线的极坐标方程

如图L1-3-1.在极坐标系Ox中. A(2.0),B(√2,π/4),C(√2,3π/4),
D(2,π),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π/2),(1,π),曲线M1,是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=√3,求P的极坐标.

book38-10-14-answer22.pptx

在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为给ρ2=16/(1十3 sin2θ),P为曲线C上的动点,C与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点.
(1)求线段OP的中点Q的轨迹的参数方程;
(2)若M是(1)中点Q的轨迹上的动点,求从△MAB面积的最大值.

book38-19-10.pptx

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标准椭圆的准线是x=a/e

详谈焦准距,要按文件顺序看。

极坐标3从椭圆定义推导方程.pptx

极坐标4椭圆的准线equation of the directrix of an ellipse.pptx

极坐标5椭圆的焦准距.pptx

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圆锥曲线的极坐标方程

ppt选自网络,感谢作者。

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双曲线定义的应用

在直角坐标系xOy中,F1、F2分别是双曲线C:x2/a2-y2/b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点,点P(x0,y0)是双曲线右支上的一点,满足PF1*PF2=0,若点P的横坐标取值范围是x0∈(5a/4,4a/3),则双曲线C的离心率取值范围为()

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与圆锥曲线相关的定值问题

已知椭圆C:(x^2)/4+y^2=1的左、右顶点分别为A1,A2,过定点(1,0)的直线l交C于P,Q两点.
(1)当直线l的倾斜角为60°时,求|PQ|;
(2)设直线A1P与直线A2Q交于点M ,O为坐标原点,求证:AA2●OM为定值.

圆锥曲线相关的定值问题.pptx

上述第一问解答不好。这是我的补充。

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点圆的应用

即半径等于0的圆,用于求相切圆。
求与圆x^2+y^2-4x-2y-20=0切于A(-1,-3)且过B(2,0)的圆的方程。

圆系方程60.pptx

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抛物线与直线间的定点,范围问题

已知抛物线C经过点(2,-1),(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设0为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

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设抛物线C的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,IABI=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。

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已知过抛物线E的焦点F,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=6。(1)求抛物线E的方程;(2)过点F任意作互相垂直的两条直线1,L2,分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段CD,MN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过-一个定点。

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在平面直角坐标系中,抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为
给√3/2.(1)求该抛物线的方程;(2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线1与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于N,求点N的橫坐标的取值范围.

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