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利用单调递增解抽象不等式

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教研实录——单调解抽象不等式

(2017江苏,11,5分,★★☆)已知函数f(x)=x3 – 2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是 。

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复合函数的单调性

在学习完函数单调性之后,如何教会学生求复合函数的单调性,提高学生利用已学的知识去解决新问题的能力,是教师们的一个重要教学任务。

复合函数y=f[g(x)]的单调性问题是高中数学函数部分的一个难点。原因在于它是由两个简单函数u=g(x)与f(u)复合而成,所以其单调性也与这两个简单函数的单调性紧密相联。

由于复合函数的单调性不仅能考查学生对函数定义域、值域的理解及求法,还常常通过对函数其它基本性质(如奇偶性,周期性等)与不等式有机结合起来考查学生的分析问题、解决问题能力,因此有关复合函数的单调性问题是一直是高考的重点题型之一。我将从以下几个问题来探讨函数的单调性:

一、复合函数的单调性是什么   

复合函数y=f[g(x)]的单调性规律:“同增异减”。即f(u)与u=g(x)若具有相同的单调性,则f[g(x)]为增;若具有不同的单调性,则f[g(x)]为减。

1、复合函数为两个增函数复合:那么随着自变量X的增大,Y值也在不断的增大。   

2、复合函数为两个减函数的复合:那么随着内层函数自变量X的增大,内层函数的Y值就在不断的减小,而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。

因此,即当内层函数自变量X的增大时,内层函数的Y值就在不断的减小,即整个复合函数的自变量X不断减小,又因为外层函数也为减函数,所以整个复合函数的Y值就在增大。因此可得“同增” 若复合函数为一增一减两个函数复合:内层函数为增函数,则若随着内层函数自变量X的增大,内层函数的Y值也在不断的增大,即整个复合函数的自变量X不断增大,又因为外层函数为减函数,所以整个复合函数的Y值就在减小。反之亦然,因此可得“异减”。

简单的用表格概括一下:

单调性中间变量u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]

就表格中的第③给予证明如下:

证明:设任意x1,x2∈A,且x1<x2,因为u=g(x)在区间A上是增函数,所以g(x1)<g(x2),即u1<u2.又因为u=g(x)在区间A上的函数值u∈B,所以u1,u2∈B。因为y=f(U)在B上是减函数,所以f(u1)>f(u2),即f[g(x1)]>f[g(x2)],所以y=y=f[g(x)]在区间A上是减函数.

注:A为函数的定义域,B为函数的值域

(同理其他亦可证,感兴趣的可以模仿证明过程去证明其他几个)

二、复合函数的单调性在高考中如何考察的

复合函数就其出现的形式而言不外乎两种:一是具体型复合函数;二是抽象型复合函数。具体型复合函数指给出了复合函数具体的解析式,这类复合函数的单调性问题较抽象型的略简单些。抽象型复合函数是指没有给出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一些性质(如函数定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图象特征)或运算法则的函数。

高考主要考察:①根据复合函数单调性规律求单调区间;②由题意画出函数的大致图象确定复合函数单调区间;②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题(根据复合函数的单调性求参数的取值范围是常考并且是重难点问题,在高考最后一道导数问题中经常涉及)。

复合函数问题中,“中间变量”是形成问题转化的桥梁,函数思想是解决问题的关键。

三、复合函数单调性解题的具体步骤

(1)求复合函数定义域; 

(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);

(3)判断每个常见函数的单调性; 

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; 

(5)根据“同增异减”求出复合函数的单调性。

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函数的单调性和最值

定义在(0,+∞)上的函数y=f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,当x>1时,f(x)<0. (1)判断函数f(x)的单调性; (2)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1.

book21-17-11.pptx

已知函数f(x)=(ax^2)/bx, f(1)=1,f(2)=5. (1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-1,-1/2]上的值域.

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已知函数f(x)=1/(x^2)-x是定义在(0,+∞)上的函数.(1)用定义法证明函数f(x)的单调性;(2)若关于x的不等式f((x^2+2x+m)/x)<0恒成立,求实数m的取值范围.

book21-17-13.pptx

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b). (1)证明:f(0)=1;(2)证明:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)*f(2x-x^2)>1,求x的取值范围.

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导函数的零点以及单调性

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-x³]=2,则方程f(x)-f'(x)=2的一个根所在的区间是( )

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在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是( ).

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f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( ).

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定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x²f'(x)+1>0,f(1)=5,则不等式f(X)<1/x+4的解集为

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函数f(x)=sin x+2 xf'(π/3),f'(x)为f(x)的导函数,令a=1/2,b=lg2/lg3,则下列关系正确的是( )

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函数单调性

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单调求极值