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集合与函数

已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m+1≤x≤2m+3}.)
(1)当m=1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围。

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已知函数f(x)=(mx+1)/(1+x2)是R上的偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断并用定义法证明函数y=f(x)在(-∞,0).上的单调性.

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已知函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=2/x-1.
(1)用定义法证明f(X)在(0,+∞)上是减函数;
(2)当x<0时,求函数f(x)的解析式。

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20.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-1,2]时,求函数f(X)的最大值和最小值.

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复合函数的单调性

在学习完函数单调性之后,如何教会学生求复合函数的单调性,提高学生利用已学的知识去解决新问题的能力,是教师们的一个重要教学任务。

复合函数y=f[g(x)]的单调性问题是高中数学函数部分的一个难点。原因在于它是由两个简单函数u=g(x)与f(u)复合而成,所以其单调性也与这两个简单函数的单调性紧密相联。

由于复合函数的单调性不仅能考查学生对函数定义域、值域的理解及求法,还常常通过对函数其它基本性质(如奇偶性,周期性等)与不等式有机结合起来考查学生的分析问题、解决问题能力,因此有关复合函数的单调性问题是一直是高考的重点题型之一。我将从以下几个问题来探讨函数的单调性:

一、复合函数的单调性是什么   

复合函数y=f[g(x)]的单调性规律:“同增异减”。即f(u)与u=g(x)若具有相同的单调性,则f[g(x)]为增;若具有不同的单调性,则f[g(x)]为减。

1、复合函数为两个增函数复合:那么随着自变量X的增大,Y值也在不断的增大。   

2、复合函数为两个减函数的复合:那么随着内层函数自变量X的增大,内层函数的Y值就在不断的减小,而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。

因此,即当内层函数自变量X的增大时,内层函数的Y值就在不断的减小,即整个复合函数的自变量X不断减小,又因为外层函数也为减函数,所以整个复合函数的Y值就在增大。因此可得“同增” 若复合函数为一增一减两个函数复合:内层函数为增函数,则若随着内层函数自变量X的增大,内层函数的Y值也在不断的增大,即整个复合函数的自变量X不断增大,又因为外层函数为减函数,所以整个复合函数的Y值就在减小。反之亦然,因此可得“异减”。

简单的用表格概括一下:

单调性中间变量u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]

就表格中的第③给予证明如下:

证明:设任意x1,x2∈A,且x1<x2,因为u=g(x)在区间A上是增函数,所以g(x1)<g(x2),即u1<u2.又因为u=g(x)在区间A上的函数值u∈B,所以u1,u2∈B。因为y=f(U)在B上是减函数,所以f(u1)>f(u2),即f[g(x1)]>f[g(x2)],所以y=y=f[g(x)]在区间A上是减函数.

注:A为函数的定义域,B为函数的值域

(同理其他亦可证,感兴趣的可以模仿证明过程去证明其他几个)

二、复合函数的单调性在高考中如何考察的

复合函数就其出现的形式而言不外乎两种:一是具体型复合函数;二是抽象型复合函数。具体型复合函数指给出了复合函数具体的解析式,这类复合函数的单调性问题较抽象型的略简单些。抽象型复合函数是指没有给出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一些性质(如函数定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图象特征)或运算法则的函数。

高考主要考察:①根据复合函数单调性规律求单调区间;②由题意画出函数的大致图象确定复合函数单调区间;②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题(根据复合函数的单调性求参数的取值范围是常考并且是重难点问题,在高考最后一道导数问题中经常涉及)。

复合函数问题中,“中间变量”是形成问题转化的桥梁,函数思想是解决问题的关键。

三、复合函数单调性解题的具体步骤

(1)求复合函数定义域; 

(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);

(3)判断每个常见函数的单调性; 

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; 

(5)根据“同增异减”求出复合函数的单调性。

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映射与函数的定义

刘利新题库2020-8-18函数的定义映射的定义.docx

book21-12-20.pptx

book21-12-21.pptx

映射f:A→B,在f的作用下,A中元素(x,y)与B中元
素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中
元素是( )
A.(-1,2) B.(0,3) C.(1,2) D.(-1,3)

book21-12-22.pptx

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构造函数与分离变量

设函数f(x)=me^x-x^2+3,其中m∈R.若函数f(x)在区间[ – 2,4] 上有两个零点,求m的取值范围.

book32-58-1构造函数与参变量分离.pptx

已知函数f(x)=e^x/x.(1)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为ax-y=0,求x0的值.(2)当x>0时,求证:f(x)>x.(3)问集合{x∈R=f(x)-bx=0}(b∈R且为常数)的元素有多少个?

book32-59-2.pptx

已知a∈R,函数f(x)=1/6x^2+1/2(a-2)x^2+b,g(x)=2alnx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处的切线互相垂直,求a,b的值.(2)设F(x)=f'(x)-g(x),若对任意x1,x2∈(0,十∞),且x1≠x2,都有[F(x1)-F(x2)]/x2-x1>a,求a的取值范围.

book32-65-3.pptx

已知函数f(x)=lnx/x,g(x)=ax. (1)若g(x)表示的直线恰好是f(x)对应曲线的切线,求a的值. (2)若a=1,请判定f(x),g(x)图象的交点个数.

book32-65-2.pptx

设函数f(x)=1/xInx(x>0且x≠1),(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)已知2^(1/x)>x^a,对任意x∈(0,1)成立,求实数a的取值范围。

book32-64-1.pptx

已知函数f(X)=1/x-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:[f(x1)-f(x2)]/x1-x2<a-2

book32-62-4.pptx

已知函数f(x)=xInx+ax^2-1,且f'(1)=-1.(1)求f(x)的解析式.(2)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)-mx≤-1,求m的最小值.(3)证明:函数y=f(x)-xe^x+x^2的图象在直线y=-2x-1的下方.

book32-61-3.pptx

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三次函数的对称中心

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心是
(-b/(3a),f(-b/(3a))

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同构函数

1.若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A. ln(y-x+1)>0
B. ln(y-x+1)<0
C. ln|x-y|>0.
D. ln|x-y|<0.

2.已知实数x1,x2满足x1ex1=e3 ,x2(Inx2 -2)=e5,则x1x2 =_____

3.已知a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,那么a+b的值是_____

4.不等式x6-(x+2)3+ x2≤x4-(x+2)2+x+2的解集是_____

5.不等式8/((x+1)3)+10/(x+1)-x3-5x>0的解集是_____

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全国中考数学联赛1983年试题第一部分第5题

已知函数f(x)=ax2 -c,满足: -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.那么,f(3)应满足( ).

2020-7-27book13-36-5

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再论二次函数

本题是高中联赛的一道试题,算是二次函数这部分最难的了。

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高一上,幂函数

讲解

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