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仿射变换的性质

仿射变换具有以下性质：

性质1　变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；

性质2　变换后保持同素性和接合性

注：即仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离】；变换前直线与直线平行（相交、重合），伸缩变换后直线与直线依然平行（相交、重合）。

性质3　变换前后对应图形的面积比不变；

下面来说一下仿射变换在高中解析几何中的应用

在高中解析几何的学习中，我们知道圆有很多很好的几何性质，比如圆中有垂径定理等，能够很方便的处理与弦长或者面积相关的问题。

不难发现，椭圆的标准方程x²/a²+y²/b²=1在形式上接近圆的标准方程x²+y²=r²，所以我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆，再利用圆的好用的几何性质解决椭圆中的一些复杂问题．

对于椭圆的标准方程x²/a²+y²/b²=1，在y轴上进行伸缩变换x=x′,y=a/b y′,从而得到圆的方程x′²+y′²=a².

此时椭圆上的点P(x₀,y₀)经过变换变成点P′(x₀,a/b y₀)，即所有点经过变换后横坐标不变，纵坐标变成原来的a/b倍。

原坐标系中一条斜率为k=Δy/Δx的直线，在新的坐标系中的斜率为k′=Δy′/Δx′=a/b⋅k.

除此之外，椭圆问题中经常涉及的弦长，面积等也有一定的变化关系，本文不再一一阐述，接下来将总结好的变化关系以图片的形式呈现。

以下一些高考试题为例加以说明。（附高考试题及解析PPT可下载）

什么是仿射变换

仿射变换是一种二维坐标到二维坐标的线性变换，变换保持二维图形间的相对位置关系不发生变化。原来的直线仿射变换后还是直线，原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线，夹角可能会发现变化，垂直关系可能会发生变化。

平面坐标中的任意一点（x,y）的一个仿射变换：

仿射变换变化包括缩放、平移、旋转、反射、错切。

下面给出一些常用的仿射变换的例子。

1.若a=1,e=1并且b=0,d=0，则仿射变换的表达式

这个就是平移变换。

2.若b=0,d=0并且c=0,f=0，则仿射变换的表达式：

这个就是缩放变换。

3.若a=cosθ,e=cosθ,b=-sinθ,d=sinθ并且c=0,f=0，则仿射变换的表达式：

这个就是旋转变换。

全等和相似也可以看作是特殊的仿射变换。