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与圆锥曲线相关的定值问题

已知椭圆C:(x^2)/4+y^2=1的左、右顶点分别为A1,A2,过定点(1,0)的直线l交C于P,Q两点.
(1)当直线l的倾斜角为60°时,求|PQ|;
(2)设直线A1P与直线A2Q交于点M ,O为坐标原点,求证:AA2●OM为定值.

圆锥曲线相关的定值问题.pptx

上述第一问解答不好。这是我的补充。

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点圆的应用

即半径等于0的圆,用于求相切圆。
求与圆x^2+y^2-4x-2y-20=0切于A(-1,-3)且过B(2,0)的圆的方程。

圆系方程60.pptx

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抛物线与直线间的定点,范围问题

已知抛物线C经过点(2,-1),(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设0为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

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设抛物线C的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,IABI=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。

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已知过抛物线E的焦点F,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=6。(1)求抛物线E的方程;(2)过点F任意作互相垂直的两条直线1,L2,分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段CD,MN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过-一个定点。

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在平面直角坐标系中,抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为
给√3/2.(1)求该抛物线的方程;(2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线1与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于N,求点N的橫坐标的取值范围.

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圆锥曲线中范围,最值,定值问题

已知椭圆C的焦点F与抛物线E的焦点重合,直线x-y+√2/2=0与以原点0为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.(1)直线x=1与椭圆交于不同的两点M,N,椭圆C的左焦点F1,求是三角形F1MN的内切圆的面积.(2)直线l与抛物线E交于不同两点A,B,直线l’与抛物线E交于不同两点C,D,直线l与直线l’交于点M,过焦点F分别作l与l’的平行线交抛物线E于P,Q,G,H四点.证明:
|MC|*|MB|/|MC|*|MD|=|PQ|/|HG|

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已知抛物线C的焦点为F,过F且斜率为一的直线l与抛物线C交于A,B两点,点B在x轴的上方,且横坐标为4.(1)求抛物线C的标准方程;(2)设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证:|HG|*|HE|为定值。

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巳知椭圆C,四个点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,√3/2),P4(1,√3/2)中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m(m≠1)与椭圆C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,试说明直线1必过定点,并求出该定点的坐标.

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已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心与C2的顶点均为原点0,从C1,C2上分别取两个点.(1)求C,C2的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆c,交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G(1/8,0),求实数k的取值范围.

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设椭圆C,定义椭圆c的“相关圆”方程为x²+y²=a²b²/a²+b²,若抛物线y²=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合,且椭圆C的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程; (2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l,与椭圆C交于A,B两点,0为坐标原点。①证明:∠AOB的大小为定值;②连接PO并延长,交“相关圆”E于另一点Q,求三角形ABQ的面积的取值范围.

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直线与圆锥曲线的位置关系

已知双曲线C 的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF//OA(O为坐标原点).(1) 求双曲线C的方程. (2) 过C上一点P的直线l与直线AF相交于点M,与直线x=3/2相交于点N,证明:当点P在C上移动时,|MF|/|NF|恒为定值,并求此定值.

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已知双曲线E的两条渐近线 (1)求双曲线E的离心率。(2)O为坐标原点,动直线l分别交渐近线于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且三角形OAB的面积恒为8。试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.

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O为坐标原点,椭圆C1的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2的左右焦点分别为F3,F4,离心率为e2。已知e1e2=√3/2,且|F2F4|=√3-1。(1)求C1,C2的方程。(2)过点F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形的中点,当直线面积的最小值。

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已知双曲线的左、右焦点F1,F2,A(-1,0)是其左顶点,且双曲线的离心率为e=2。设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点,其中点P位于第一象限内.
(1)求双曲线的方程。(2)若直线AP,AQ分别与直线x=一交于M,N两点,求证:MF2⊥NF2。(3)是否存在常数入,使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由。

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已知抛物线C,点A的坐标为(-1/2,1/4),点B的坐标为(3/2,9/4)。抛物线上的点P(x,y)(-1/2<x<3/2),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q。(1)求直线AP斜率的取值范围。(2)求|PA|*|PQ|的最大值。

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已知抛物线C1的焦点F也是椭圆C2的一个焦点,C1与C2的公
共弦长为2√6.(1)求C2的方程。(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向。①若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,三角形MFD总是钝角三角形。

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圆锥曲线的二级结论总结

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2019北大自主招生,两点间距离公式

将军饮马

本题只有一个x值,这也可以叫做“取值范围”,毫无违和感。

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切线长公式

已知圆的标准方程,以及圆外一点。 请推导出过圆外一点的圆的切线长公式