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仿射变换第2讲

仿射变换的性质

仿射变换具有以下性质:

性质1 变换后共线三点单比不变(即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样);

性质2 变换后保持同素性和接合性

:即仿射变换前直线与曲线相切(相交、相离),仿射变换后直线与曲线依然相切(相交、相离】;变换前直线与直线平行(相交、重合),伸缩变换后直线与直线依然平行(相交、重合)。

性质3 变换前后对应图形的面积比不变;

以上是对性质2的一个简单证明,仿射变换前直线与椭圆相切,仿射变换后直线与曲线依然相切

下面来说一下仿射变换在高中解析几何中的应用

在高中解析几何的学习中,我们知道圆有很多很好的几何性质,比如圆中有垂径定理等,能够很方便的处理与弦长或者面积相关的问题。

不难发现,椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1在形式上接近圆的标准方程x2+y2=r2,所以我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆,再利用圆的好用的几何性质解决椭圆中的一些复杂问题.

对于椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1,在y轴上进行伸缩变换x=x′,y=a/b y′,从而得到圆的方程x′2+y′2=a2.

此时椭圆上的点P(x0,y0)经过变换变成点P′(x0,a/b y0),即所有点经过变换后横坐标不变,纵坐标变成原来的a/b倍。

原坐标系中一条斜率为k=Δy/Δx的直线,在新的坐标系中的斜率为k′=Δy′/Δx′=a/b⋅k.

除此之外,椭圆问题中经常涉及的弦长,面积等也有一定的变化关系,本文不再一一阐述,接下来将总结好的变化关系以图片的形式呈现。

以下一些高考试题为例加以说明。(附高考试题及解析PPT可下载)

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仿射变换第1讲

什么是仿射变换

仿射变换是一种二维坐标到二维坐标的线性变换,变换保持二维图形间的相对位置关系不发生变化。原来的直线仿射变换后还是直线,原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线,夹角可能会发现变化,垂直关系可能会发生变化。

平面坐标中的任意一点(x,y)的一个仿射变换:

这是仿射变换的一般表达式

仿射变换变化包括缩放平移旋转反射错切

下面给出一些常用的仿射变换的例子。

1.若a=1,e=1并且b=0,d=0,则仿射变换的表达式

这个就是平移变换

mde

2.若b=0,d=0并且c=0,f=0,则仿射变换的表达式:

这个就是缩放变换

3.若a=cosθ,e=cosθ,b=-sinθ,d=sinθ并且c=0,f=0,则仿射变换的表达式:

这个就是旋转变换

全等和相似也可以看作是特殊的仿射变换。

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排列组合的不相邻问题

2020年年3月31日,某地6位援鄂医护人员A,B,C,D,E,F(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地,他们受到当地领导与群众的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹,让这6名医护人员和接见他们的位领导共7人站一排进行拍照,则领导和队长站在两端且B、C相邻,而B、D不相邻的排法有( )

book40-6-5.pptx

这道题,书上、网上都是一种方法,不好理解,本文提供一个新的解答。让D与B相邻,这样,B、C、D捆绑,这样好理解。

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集合与函数

已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m+1≤x≤2m+3}.)
(1)当m=1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围。

book21-28-17.pptx

已知函数f(x)=(mx+1)/(1+x2)是R上的偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断并用定义法证明函数y=f(x)在(-∞,0).上的单调性.

book21-28-18.pptx

已知函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=2/x-1.
(1)用定义法证明f(X)在(0,+∞)上是减函数;
(2)当x<0时,求函数f(x)的解析式。

book21-28-19.pptx

20.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-1,2]时,求函数f(X)的最大值和最小值.

book21-28-20.pptx

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中考内容 初中拓展 小学 高中

高考数学120不需要智力,只需要努力

今天跟一位资深数学老师聊天,他突然说了一句:130不需要智力。真是英雄所见略同,我常跟学生说的一句话,以及鼓励我校年轻老师的一句话,是:你们都能考120,这不需要智力。而120就能上个好大学!

我比这位老师要求低了10分。但我们的观点是相同的:努力有用。这个分数段,是所有用功的孩子,力所能及的!

这位老师在西安,陕西很多名校带过高三,手下出过状元,虽然后来主要从事管理工作,但一直没脱离教学,他的观点,是很有分量的。

从我的教学实践来看,也有很多考120左右的孩子,进了西安电子科技大学最好的专业。

所以,对于没进高新一中,铁一中,工大附中这些名校,或者,在这些名校,但怎么也比不过学霸的那些学生来说,别跟别人比,把自己会做的题都做对,考个120还是力所能及的。

但另外一个指标是,我知道的高考数学120的学生,在小学阶段,在有奥数的日子里,绝对都不是最差的,甚至是比较优秀的。这才能给日后从150退到120留出空间来。

另外我不知道的一件事情是,这位老师告诉我,虽然竞赛省一对清华、北大不管用,但对其他大学,还是颇具影响力的。

在此,恭喜各位竞赛获奖学生。

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复合函数问题的解法

已知函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,对于任意的x∈R,
f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(2)=

book21-43-11.pptx

若函数y=loga(3-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是

book21-43-12.pptx

若函数f(x+1/x=lg(x+√(x2+1)),则f(-5/2)+f(5/2)的值为( )
A.2 B.lg5 C.0 D.3

book21-43-5.pptx

已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a))在[2,+∞)_上单调递减,则a的取值范围为( )
A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[-4,4] D.(-4,4)

book21-43-4.pptx

已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(1)= 1. 若对任意的x1,x2∈R且x1-x2,有(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)则不等式f[log2(3x-2)]<log216-3log 2(3x-2)的解集为( )

book21-43-6(1).pptx

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利用单调递增解抽象不等式

book21-43-6.pptx

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初中拓展 小学 高中

潇哥:欣赏数学之美

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对数的运算

book21-38-7

已知a>0,且a≠1,loga2=x,则ax= ,a2x+a-2x=

book21-38-8.pptx

已知实数a,b满足logab-logba=2,且aa=bb,则a+b=

book21-38-9.pptx

已知2a=3,3b=7,则log756= (用含a,b的式子表示)

book21-38-10.pptx

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极坐标方程的定义

A polar coordinate system, gives the co-ordinates of a point with reference to a point 0 and a half line or ray starting at the point O. We will look at polar coordinates for points in the xy-plane, using the origin (0, 0) and the positive x-axis for reference. A point P in the plane, has polar coordinates (r, 6), where r is the distance of the point from the origin and θ is the angle that the ray |OP| makes with the positive x-axis.

极坐标1.pptx

极坐标下方程的图像
The graph of an equation in polar coordinates r= f(θ) or F(r,θ)= 0 consists of all points P that have at least one polar representation (r, 0) whose coordinates satisfy the equation.

极坐标2.pptx